இரா. செங்கோதை

தென்னாட்டில் வலிமைமிக்க ஓர் அரசர் ஆண்டுவந்தார். அவர் அரசவையில் மிகத் திறமை வாய்ந்த ஆலோசகராக மாறன் என்பவர் இருந்தார். ஒரு நாள் விசித்திரமான வழக்கு ஒன்று மன்னரின் அரசவைக்கு வந்தது.

அவ்வூரில் வசிக்கும் கோபி தான் வணிகத்தில் சம்பாதித்த ஒரு தங்க கட்டியை அதே ஊரில் இருக்கும் பொற்கொல்லரிடம் கொடுத்து, குறிப்பிட்ட சில துண்டுகளாக மாற்றிதரும்படி கேட்டிருந்தார். அதற்கு சம்மதித்த பொற்கொல்லர் அவ்வாறே மாற்றித் தந்திருக்கிறார்.

நான் ஏமாற்றவில்லை...

ஆனால், தான் கொடுத்த தங்கக்கட்டியில் இவ்வளவு குறைவான தங்கத் துண்டுகள் மட்டுமே கிடைக்க வாய்ப்பில்லை என கோபியின் மனத்தில் சந்தேகம் எழுந்தது. இதைப் பற்றி பொற்கொல்லரிடம் கோபி கேட்டார். “நான் உங்களை எவ்விதத்திலும் ஏமாற்றவில்லை” என்றார் பொற்கொல்லர். இங்கு பொற்கொல்லர் பொய்யுரைக்கிறாரா அல்லது கோபி தவறாக புரிந்து
கொண்டுவிட்டாரா என்பதே வழக்கு.

இந்த வழக்கை விசாரிக்கும்படி மாறனிடம் மன்னர் சொன்னார். அன்று இரவு மாறன் கோபி வீட்டுக்குச் சென்று தங்கக்கட்டியைப் பற்றி சில விவரங்களைக் கேட்டறிந்தார். மறுநாள் அரசவை கூடியது. அரசே, “இந்த பொற்கொல்லர் பொய்யுரைத் துள்ளார்” என்றார் மாறன்.

ரகசியம் என்ன?

ஆம் அரசே! கோபி அளித்த பெரிய தங்கக்கட்டியிலிருந்து பெறப்பட்ட தங்கத் துண்டுகள் மொத்தம் 32 இருக்க வேண்டும். ஆனால், இந்த பொற்கொல்லர் கோபியிடம் 25 துண்டுகளை மட்டுமே கொடுத்துள்ளார் என்றார். “இதை நீங்கள் எப்படி கண்டுபிடித்தீர்கள்?” எல்லோருக்கும் புரியும்படியாக விளக்கிச் சொல்லுங்கள் என்று ஆச்சரியத்துடன் மன்னர் கேட்டார்.

நான் கோபியிடம் பெரிய தங்கக்கட்டியை பற்றி கேட்டபோது, அது கன செவ்வக (Cuboid) அமைப்பைக் கொண்டது என்றும் அதன் நீளம் 24, அகலம் 16, உயரம் 18 அலகுகள் இருந்ததாக அறிந்துகொண்டேன். பின் பொற்கொல்லர் செய்து கொடுத்த சிறிய தங்கத் துண்டுகளை பார்த்தேன். அவை அனைத்தும்ஒரே அளவில் அமைந்த கனசதுரமாக (Cube) இருந்தன. அந்த சம அளவிலான கனசதுரங்களின் பக்க அளவு 6 ஆக இருந்ததைப் பார்த்தேன். இந்த குறிப்புகளிலிருந்து, கோபி அளித்த பெரிய கனசெவ்வக தங்கக்கட்டியிலிருந்து எவ்வளவு சம அளவிலான சிறிய கனசதுர துண்டுகள் கிடைக்கும் என்பதைக் கணக்கிட்டுவிடலாம் என மாறன் தெரிவித்தார்.

சமமாக இருக்க வேண்டுமல்லவா?

பெரிய தங்கக்கட்டியை உருக்கியதன் மூலம் n தங்கத் துண்டுகள் கிடைத்ததாக எடுத்துக்கொள்வோம். பொற்கொல்லர் கூறியபடி, அவர் மிகச் சரியாக உருக்கி எதையும் வீணாக்காமல் செய்திருந்தால், பெரிய தங்கக்கட்டியின் கனஅளவும் n சிறிய தங்கத் துண்டுகளின் கன அளவுக்குச் சமமாக இருக்க வேண்டுமல்லவா? பெரிய தங்கக்கட்டியின் கன அளவு அதன் நீளம், அகலம், உயரம் ஆகியவற்றின் பெருக்கல் மதிப்பாக இருக்கும். அதேபோல், k பக்க அளவு கொண்ட ஒரு கனசதுரத்தின் கன அளவு k3 ஆக இருக்கும். எனவே,இதிலிருந்து நாம் பெறுவது, 24x16x18 = n x (6x6x6)=>n =24x16x18 /6x6x6 = 32 ஆகையால், 32 சிறிய தங்கத் துண்டுகள் கிடைத்திருக்க வேண்டும். ஆனால், பொற்கொல்லர் ஏழு தங்கத் துண்டுகளை மறைத்து வைத்து 25 தங்கத் துண்டுகளை மட்டுமே கோபியிடம் கொடுத்துள்ளார். எனவே, பொற்கொல்லர் கூறியது தவறு என மாறன் உறுதியாக தனது முடிவை எடுத்துரைத்தார்.

தான் செய்த குற்றம் அம்பலமானதால், “மன்னித்து விடுங்கள்” என்று மன்னரிடம் பொற்கொல்லர் மன்னிப்புக் கேட்டார். வழக்கை திறமையாகக் கையாண்ட மாறனை அரசரும், அவையில் இருந்த அனைவரும் வெகுவாக பாராட்டினர்.

குறிப்பு: இக்கதையில் தோன்றும் கணித முறையை ‘திண்மங்களை கன அளவுகள் மாறாமல் மற்றொரு உருவத்திற்கு மாற்றி அமைத்தல்’ என்ற தலைப்பில் அளவியல் அத்தியாயத்தில் பத்தாம் வகுப்பில் காணலாம்.

- கட்டுரையாளர்

கணித ஆசிரியை,

பை கணித மன்றம்.