வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 2: எண் கணிதம்- 2

கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி வகுபடுந்தன்மைகள் (Divisibility).

உண்மை : 1
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 3ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 4518792 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+5+1+8+7+9+2 = 36 → 3+6 = 9. எனவே 4518792ஐ 3 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 2
ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 6ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 845676 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம். எனவே 8+4+5+6+7+6 = 36→3+6→ 9. எனவே 845676ஐ 6 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 3
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 9ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 4518792 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+5+1+8+7+9+2 = 36 → 3+6 = 9. எனவே 4518792ஐ 9 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 4
ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஐ தவிர வேறு இலக்கமாக இருப்பின் அவ்வெண்ணை 9ஆல் வகுத்தால், கிடைக்கும் மீதி அவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கமே. கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருந்தால், அவ்வெண் மீதியின்றி 9ஆல் வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 634697 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 6+3+4+6+9+7 = 35→3+5→ 8. எனவே, 634697ஐ 9ஆல் வகுத்தால் மீதி 8.

எ.கா. 2 : 523584 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 5+2+3+5+8+4 = 27→2+7→ 9. எனவே 523584ஐ 9 மீதியின்றி வகுக்கும். அதாவது மீதி 0 ஆகும்.

உண்மை : 5
ஓர் இரட்டைப்படை எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 18ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 923562 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 9+2+3+5+6+2 = 27→2+7→ 9. மேலும் இரட்டைப்படை எண். எனவே, 923562ஐ 18 மீதியின்றி வகுக்கும்.

உண்மை : 6
ஓர் எண்ணின் கடைசி இலக்கம் 0 அல்லது 5ஆகவும் அதன் கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் 15ஆல் நிச்சயமாக மீதியின்றி வகுபடும்.

எ.கா. 1 : 1187925 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+1+8+7+9+2+5 = 33 → 3+3 = 6. எனவே, 1187925ஐ 15 மீதியின்றி வகுக்கும்.

எ.கா. 2 : 578390 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 5+7+8+3+9+0 = 32 → 3+2 = 5. எனவே 578390ஐ 15 மீதியின்றி வகுக்காது.

உண்மை : 7
கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் எண் முழு வர்க்ககமாக (perfect square) இருக்குமா, இருக்காதா என்பதை அறியலாம். ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1 அல்லது 4 அல்லது 7 அல்லது 9ஆக இருப்பின், அவ்வெண் முழு வர்க்க எண்ணாக(Perfect Square) இருக்கலாம். ஆனால், நிச்சயமாக முழு வர்க்கம் எனக் கூற இயலாது. அதே நேரத்தில் கூட்டிலக்கம் 2அல்லது 3 அல்லது 5 அல்லது 6 அல்லது 8 ஆக இருப்பின் அவ்வெண் நிச்சயமாக முழு வர்க்க எண்ணாக இருக்கமுடியாது என கூறிவிடலாம். கடைசி இரு இலக்கங்களும் பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், அவ்வெண் முழு வர்க்கமாக இருக்கலாம். கடைசி இலக்கம் மட்டும் பூஜ்ஜியமாக இருப்பின் அவ்வெண் நிச்சயமாக முழுவர்க்கமாக இருக்க முடியாது.

பூஜ்ஜியமற்ற (Non-zero) எந்த எண்ணும் 1 முதல் 9 வரையிலான ஏதாவது ஒர் இலக்கத்தை கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்கும். எனவே முழு வர்க்க எண்கள் அனைத்துமே கூட்டிலக்கமாக 1, 4, 7 மற்றும் 9 ஆகியவற்றுள் ஏதாவது ஒன்றைத்தான் கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

எ.கா. 1 : 1936 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+9+3+6 = 19→1+9→10 -> 1 + 0 = 1. எனவே 1936 முழுவர்க்க எண்ணாக இருக்கலாம்.
எ.கா. 2 : 4836 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 4+8+3+6 = 21 →2+1 = 3. எனவே, 4836 நிச்சயமாக முழுவர்க்க எண்ணாக இருக்க முடியாது.

குறிப்பு : 'x' என்பது ஒரு முழு மிகை எண்ணாகவும் (Whole positive number) 'n' என்பது இயல் எண்ணாகவும் (Natural number) இருப்பின், x^2n வடிவிலுள்ள எந்த எண்ணின் கூட்டிலக்கமும் 1 அல்லது 4 அல்லது 7 அல்லது 9 ஆகத்தான் இருக்கமுடியும்.

உண்மை : 8
கூட்டிலக்கத்தைப் பயன்படுத்தி ஓர் எண் முழு கனமாக (Perfect Cube) இருக்குமா, இருக்காதா என்பதை அறியலாம். ஓர் எண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1 அல்லது 8 அல்லது 9ஆக இருப்பின், அவ்வெண் முழு கன எண்ணாக இருக்கலாம். ஆனால், நிச்சயமாக முழு கனம் எனக் கூற இயலாது. அதே நேரத்தில் கூட்டிலக்கம் 2 அல்லது 3 அல்லது 4 அல்லது 5 அல்லது 6 அல்லது 7ஆக இருப்பின், அவ்வெண் நிச்சயமாக முழு கன எண்ணாக இருக்க முடியாது எனக் கூறிவிடலாம்.

பூஜ்ஜியமற்ற (Non zero) எந்த எண்ணும் 1 முதல் 9 வரையிலான ஏதாவது ஒர் இலக்கத்தைக் கூட்டிலக்கமாகக் கொண்டிருக்கும். எனவே, முழு கன எண்கள் அனைத்துமே கூட்டிலக்கமாக 1, 8 மற்றும் 9 ஆகியவற்றுள் ஏதாவது ஒன்றைத்தான் கொண்டிருக்க வேண்டும்.

எ.கா. 1 : 1728 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 1+7+2+8 = 18→1+8→9. எனவே, 1728 முழு கன எண்ணாக இருக்கலாம்.

எ.கா. 2 : 7954 - இவ்வெண்ணின் கூட்டிலக்கம் 7+9+5+4 = 25 →2+5 = 7. எனவே 7954 நிச்சயமாக முழு கன எண்ணாக இருக்க முடியாது.

குறிப்பு : 'x' என்பது ஒரு முழு மிகை எண்ணாகவும் 'n' என்பது இயல் எண்ணாகவும் இருப்பின், x^3n வடிவிலுள்ள எந்த எண்ணின் கூட்டிலக்கமும் 1 அல்லது 8 அல்லது 9 ஆகத்தான் இருக்க முடியும்.

உண்மை : 9
பகா எண்களின் (Prime numbers) கூட்டிலக்கம் 3இன் மடங்காக நிச்சயமாக இருக்க முடியாது. ஏனெனில், கூட்டிலக்கம் 3 அல்லது 6 அல்லது 9ஆக இருப்பின் அவ்வெண் முழுமைக்கும் நிச்சயமாக 3ஆல் வகுபடும். எனவே, பகா எண்களின் கூட்டிலக்கம் - 1, 2, 4, 5, 7, 8 ஆகிய இலக்கங்களில் ஏதேனும் ஒன்றாகத்தான் இருக்க முடியும்.

எ.கா : 19, 11, 31, 23, 61, 53 ஆகிய பகா எண்களின் கூட்டிலக்கங்கள் முறையே 1, 2, 4, 5, 7 மற்றும் 8 ஆகும்.

- கட்டுரையாளர், போட்டித் தேர்வு பயிற்சியாளர், குளோபல் விக்கிமாஸ்டர்; தொடர்புக்கு: success.gg@gmail.com

முந்தைய அத்தியாயம் > வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 1: தேர்வுக்குத் தயாரா?