வெல்லுங்கள் CSAT 2025 - 1: தேர்வுக்குத் தயாரா?

குடிமைப் பணி (IAS, IPS, IRS, IFS etc.,) பொதுத் தேர்வை வருடந்தோறும் மத்திய அரசுப் பணியாளர் தேர்வாணையம் (UPSC) நடத்தி வருகிறது. பொது முதல்நிலை தேர்வில் (Preliminary) இரு தாள்கள் (GS 1, CSAT) உள்ளன. ஒவ்வொரு தாளும் 200 மதிப்பெண்கள் உடையது. வினாத்தாள்கள் ஆங்கிலம், இந்தி மொழிகளில் இருக்கும். அனைத்து கேள்விகளும் கொள்குறி வினா-விடை வகையைச் சார்ந்தவை.

GS 1இல் 100 வினாக்களும் (ஒவ்வொரு வினாவுக்கும் மதிப்பெண் 2) CSATஇல் 80 வினாக்களும் (ஒவ்வொரு வினாவுக்கும் மதிப்பெண் 2.5) தொகுக்கப்பட்டிருக்கும். தவறான விடை ஒவ்வொன்றிற்கும் அவ்வினாவிற்கான மதிப்பெண்ணின் மூன்றில் ஒரு பங்கு குறைக்கப்படும். விடையளிக்காத வினாவிற்கு மதிப்பெண் வழங்கப்படமாட்டாது. தகுதிக்கான CSAT தாளில் குறைந்தபட்சம் 33% மதிப்பெண் பெற்றிருந்தால்தான் GS 1 தாளை மதிப்பீடு செய்வர். CSAT தேர்வில் கணிதம், நுண்ணறிவு சேர்ந்த வினாக்கள் சற்று கடினமாக தோன்றினாலும் எளிய முறைகளுடன் நன்கு பயிற்சி செய்து தகுதித்தேர்வை எதிர்கொண்டு அதிக மதிப்பெண்கள் பெற்று முதன்மைத் தேர்வு எழுதி கண்டிப்பாகத் தகுதி பெற இயலும்.

இத்தொடரில் கணிதம், நுண்ணறிவு சம்பந்தமான உண்மைகளை தமிழ் அல்லது ஆங்கில மொழியிலும், வினாக்களுக்கான விடைகளை விரிவான விளக்கங்களுடன் சுலபமாக புரியும் வகையில் ஆங்கிலத்திலும் கொடுக்கப்படும். நன்கு புரிதலுடன் அவற்றைப் படித்து CSAT 2025 தேர்விற்கு தயாராகலாமே!

எண் கணிதம்- 1

CSAT தேர்வில் பொதுவாக 10 - 15 வினாக்களில் எண்களின் தாக்கம் அதிகம் இருக்கும். நாம் பயன்படுத்தும் எண்முறையின் பெயர் இந்திய-அரேபிய எண்முறையாகும். இம்முறையில் உள்ள பத்து இலக்கங்கள் 0 முதல் 9 வரை. அவற்றுள் 1, 3, 5, 7 மற்றும் 9 ஆகியன ஒற்றைப்படை (odd) இலக்கங்கள். 0, 2, 4, 6 மற்றும் 8 ஆகியன இரட்டைப்படை (even) இலக்கங்கள். மேலும் 2, 3, 5 மற்றும் 7 ஆகியன பகா இலக்கங்களாகவும் (prime digits), 4, 6, 8 மற்றும் 9 பகு இலக்கங்களாகவும் (composite digits), 1, 4 மற்றும் 9 வர்க்க இலக்கங்களாகவும் (square digits) இருக்கின்றன.

மொத்தமுள்ள ஓரிலக்க எண்கள் 9. இதே போன்று எண்ணுலகில் உள்ள ஈரிலக்க எண்கள் 90 (9×10). மூன்றிலக்க எண்கள் 900 (9×100).
குறிப்பாக மொத்தமுள்ள ஏழிலக்க எண்களின் எண்ணிக்கை தேவைப்படின் 9×1000000 = 9000000 என கணக்கிட்டு கொள்ளலாம். இங்கு 10 , 100, 1000000 என்பன முறையே ஈரிலக்க, மூன்றிலக்க மற்றும் ஏழிலக்க மிகச்சிறிய எண்களாகும். ஒரு எண்ணின் அனைத்து இலக்கங்களும் 9 ஆக இருப்பின் அவ்வெண்ணில் உள்ள மொத்த இலக்கங்களை பொறுத்து அந்த எண்ணை அவ்விலக்க மிகப்பெரிய எண்ணாக கொள்ளவேண்டும். குறிப்பாக 999999 என்ற எண் ஆறிலக்க எண்களில் மிகப்பெரிய எண்ணாகும். எண்களில் பெரிய எண் கூகுல்(Googol) எனப்படும். 1ஐ தொடர்ந்து நூறுசுழிகள் வலப்புறம் எழுதி கிடைக்கும் 101 இலக்கங்களை உடைய எண்ணே கூகுள். அதாவது 10இன் அடுக்கு 100 (10^100). மிகப்பெரிய எண் கூகுல் பிளக்ஸ் (Googol Plex) எனும் 1ஐ தொடர்ந்து கூகுல் சுழிகள் வலப்புறம் எழுதி கிடைக்கும் எண்ணாகும் {10^(கூகுல்)}.

எண்களில் மெய்யெண் (real number) கற்பனையெண் (imaginary) என இரு வகைகள் இருந்தாலும் மெய்யெண்களின் பயன்பாடுகள் மட்டுமே போட்டித் தேர்வுகளுக்கு அதிகம் தேவைப்படும். வர்க்கமூல குறியீட்டிற்குள் குறைஎண்(< 0) வந்திருப்பின் அவ்வெண் கற்பனை எண்ணாகும். மெய்யெண்களை விகிதமுறு (rational) மற்றும் விகிதமுறா (irrational) என இருவகையாக பிரிக்கலாம். பூச்சியமற்ற q உடன் p/q வடிவத்தில் அமைந்துள்ள எண்கள் விகிதமுறு எனவும் அவ்வாறு கொடுத்துள்ள எண்ணை எழுத இயலவில்லை எனில் அது விகிதமுறா எண்ணாகும். பூச்சியமற்ற மெய்யெண்கள் அனைத்துமே மிகையெண்ணாகவோ(>0) குறையெண்ணாகவோ (<0) அல்லது பூச்சியமாகவோ இருக்கலாம். இங்கு p, q என்பவை பத்து இலக்கங்களுக்குள் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட இலக்கங்களை ஒரு முறையோ பல முறையோ பயன்படுத்தி உருவாக்கப்படும் எண்களாகும். இங்கு q =1 ஆக இருக்கும்போது p/q என்ற எண் முழுக்கள்(integers) வகையைச் சார்ந்து விடும். இங்கு q =1 ஆக இல்லாமல் இருக்கும்போது p/q என்ற எண் பின்ன (fraction) வகையைச் சார்ந்து விடும். தகு பின்னம்(proper fraction), தகா பின்னம்(improper fraction) மற்றும் கலப்பு பின்னம் (mixed fraction) என பின்னங்கள் மூன்று வகைகளாக உள்ளன.

தகுபின்னங்களில் தொகுதி எண்ணைக்காட்டிலும் பகுதி எண் பெரியதாக இருக்கும். எ.கா. 2/5

தகாபின்னங்களில் தொகுதி எண்ணைக்காட்டிலும் பகுதி எண் சிறியதாக இருக்கும். எ.கா. 5/3

கலப்பு பின்னங்களில் முழுஎண் பகுதி மற்றும் பின்னபகுதி என இரு பகுதிகள் இருக்கும்.
எ.கா. 5(2/3) இங்கு 5 -முழு எண் பகுதி. மேலும் 2/3 பின்ன பகுதி.

√2, √3, √5, π மற்றும் e போன்ற எண்கள் விகிதமுறா எண்களாகும்.

விகிதமுறு எண்களில் இயல் (natural) எண்களின் தொகுதி
N = {1, 2, 3, 4.............} யின் பொது உறுப்பு 'n'.

ஒற்றைப்படை எண்களின் தொகுதி {1,3,5,7.............} யின் பொது உறுப்பு '2n -1'. இங்கு 'n' என்பது ஒரு இயல் எண்ணாகும். ஒற்றைப்படை எண்களின் கடைசி இலக்கம் (unit place) 1, 3, 5, 7 மற்றும் 9 ஆகிய இலக்கங்களுள் ஏதாவது ஒன்றாகத்தான் இருக்கமுடியும்.

இரட்டைப்படை எண்களின் தொகுதி {2,4,6,8.............} யின் பொது உறுப்பு '2n'. இங்கும் 'n' என்பது ஒரு இயல் எண்ணாகும். இரட்டைப்படை எண்களின் கடைசி இலக்கம் (ஒன்றாமிடம்) 2,4,6,8 மற்றும் 0 ஆகிய இலக்கங்களுள் ஏதாவது ஒன்றாகத்தான் இருக்கமுடியும்.

முதல் 'n' இயல் எண்களின் கூடுதல் 1+2+3+4+........+n = n(n+1)÷2.

முதல் 'n' ஒற்றைப்படை எண்களின் கூடுதல்
1+3+5+7+9+.........(2n-1) = n^2

முதல் 'n' இரட்டைப்படை எண்களின் கூடுதல்
2+4+6+8+..........2n = n(n+1).

இயல் எண்களின் பொது வடிவம் 'n'. ஒற்றைப்படை மற்றும் இரட்டைப்படை எண்களின் பொது வடிவங்கள் முறையே
'2n - 1' , '2n' ஆகும்.

குறிப்பு : ^ என்பது ஒரு எண்ணின் அடுக்கை குறிக்கும்.

கூட்டிலக்கம் (Digital Extract)

ஒரு எண்ணின் கூட்டிலக்கம் என்பது அவ்வெண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் ஒற்றை இலக்கமாயின் அவ்விலக்கமே அந்த குறிப்பிட்ட எண்ணின் கூட்டிலக்கம் ஆகும். இலக்கங்களின் கூடுதல் ஒரிலக்கத்திற்கு மேற்படின், மீண்டும் அக்கூடுதல் எண்ணின் இலக்கங்களின் கூடுதல் ஒரிலக்கம் வரும்வரை தொடரவேண்டும்.

எ.கா. 1 : எண் 123 இன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+2+3=6 எனவே 123 இன் கூட்டிலக்கம் = 6.

எ.கா. 2 : எண் 456789 இன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 4+5+6+7+8+9 = 39. 39 இன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 3+9 = 12. மேலும் 12 இன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+2 = 3. எனவே 456789 இன் கூட்டிலக்கம் = 3.