கணிதப் புதிர்கள் 23: தரையைத் தொடுமா வாத்துக்குஞ்சு?

என். சொக்கன்

அது ஓர் அழகிய காடு. அதன் நடுவில் ஒரு குளம் வட்ட வடிவில் இருந்தது, அதன் மையத்தில் வாத்துகள் வசித்தன.

வாத்துகளுக்குத் தண்ணீர்தான் உலகம். எந்த நேரமும் அங்கேயே மகிழ்ச்சியாகச் சுற்றித்திரிந்தன. அவற்றுள் ஒரு வாத்துக்குஞ்சுக்கு மட்டும் தரைக்குச் செல்ல வேண்டும் என்று ஆசை. ‘‘என்னைத் தரைக்குக் கூட்டிகிட்டுப் போங்கம்மா” என்று தாயிடம் கேட்டது.

‘‘அச்சச்சோ! தரைக்கு மட்டும் கூட்டிகிட்டுப் போகச் சொல்லாதே. நமக்கு இந்தக் குளம்தான் பாதுகாப்பு.”

‘‘ஒரே ஒருதடவை அந்தத் தரையைத் தொட்டுப் பார்த்துட்டு வந்தால் என்ன?”

‘‘குளத்தோட கரையில நரி இருக்கு, அதுக்கு நீந்தத் தெரியாது, அதனால, அது இங்கே வராது, ஆனா, நாம அங்கே போனா அந்த நரி நம்மைச் சாப்பிட்டுடும்” என்றது தாய் வாத்து.

ஆவலுடன் கரையைப் பார்த்த வாத்துக்குஞ்சு, நரியைக் கண்டு நடுங்கியது.

மறு நிமிடம், ‘‘அம்மா, நரி இந்தப் பக்கம்தானே இருக்கு. நாம வேற பக்கமா நீந்திப் போய்த் தரையைத் தொட்டுப் பார்த்துட்டுத் திரும்பி வந்துடலாமே?”

‘‘அந்த நரி நம்மைவிட நாலு மடங்கு வேகமா ஓடும். அதனால, நீ இந்தப் பக்கமா நீந்திப் போய்த் தரையைத் தொடறதுக்குள்ள, அது அங்கே ஓடி வந்து உன்னைப் பிடிச்சுடும்.”

‘‘நான் இந்தப் பக்கமா நீந்தற மாதிரி போக்குக் காட்டிட்டு வேற பக்கமா நீந்திப் போனா?’’

‘‘நரி என்ன முட்டாளா? அதுவும் அந்தப் பக்கமா ஓடி வந்து உன்னைப் பிடிச்சுடும்.”

இவர்கள் பேசுவதைக் கேட்டுக்கொண்டிருந்த ஒரு முதிய வாத்து அந்த வாத்துக்குஞ்சை அழைத்தது. ‘‘நானும் சின்ன வயசுல உன்னை மாதிரிதான், ஒரே ஒரு தடவையாவது கரைக்குப் போகணும்னு ஆசைப்பட்டேன். ஒரு தந்திரத்தைப் பின்பற்றி அந்த நரியை ஏமாத்திட்டேன். கரையைத் தொட்டுப் பார்த்துட்டு வந்துட்டேன். உனக்கும் சொல்லித் தர்றேன்” என்றது.

வாத்துக்குஞ்சால் பாதுகாப்பாகத் தரையைத் தொட்டுவிட்டுத் திரும்ப இயலுமா? கணக்கிட்டுப் பாருங்களேன்!

விடை:

* வட்டக் குளத்தின் ஆரத்தை ‘r’ என்று வைப்போம்; வாத்துக்குஞ்சு அதன் மையத்தில் இருப்பதாக நினைத்துக் கொள்வோம்
* அந்த வாத்துக்குஞ்சு கரையைத் தொட வேண்டும் என்றால், ‘r’ தொலைவு நீந்த வேண்டும். அதற்குள் நரி ‘4r’ தொலைவு ஓடிவிடும்
* நரி இருக்கும் திசைக்கு எதிர்த்திசையில் வாத்துக்குஞ்சு நீந்தினால், அந்த நரி வட்டத்தில் பாதியைக் கடக்க வேண்டும், அதாவது, வட்டத்தின் சுற்றளவில் அரைப்பங்கைக் கடக்க வேண்டும்
* வட்டத்தின் சுற்றளவு 2*pi*r. அதில் பாதி, pi*r
* piயின் மதிப்பு 3.14 என்று வைத்துக் கொண்டால், நரி 3.14r தூரத்தைக் கடக்க வேண்டும், அதுவோ 4r தூரத்தைக் கடக்கவல்லது, ஆகவே, நரி நிச்சயம் வாத்துக்குஞ்சைப் பிடித்துவிடும்
* வாத்துக்குஞ்சு எப்படித் திசையை மாற்றி நீந்தினாலும் சரி, நரியும் திசையை மாற்றி ஓடும், வாத்துக்குஞ்சைப் பிடித்துவிடும். இந்தக் கோணத்தில் சிந்தித்தால், வாத்துக்குஞ்சால் ஒருபோதும் தரைக்குச் செல்ல இயலாது என்றுதான் தோன்றுகிறது.
* நரியை ஏமாற்றுவதற்காக வாத்துக் குஞ்சுக்கு முதிய வாத்து சொன்ன தந்திரம் இதுதான்: குளத்தின் ஆரத்தில் நான்கில் ஒரு பங்கைக் கணக்கிட்டுக் கொள்ள வேண்டும், குளத்தின் மையத்திலிருந்து அந்தத் தொலைவுக்கு, அதாவது, r/4 தொலைவுக்குச் சென்று வட்டமாகச் சுற்றிச்சுற்றி நீந்த வேண்டும்.
* இப்படி வாத்துக்குஞ்சு சுற்றிச்சுற்றி நீந்துகையில், நரியும் கரையில் சுற்றிச்சுற்றி வந்துகொண்டிருக்கும்
* இந்த நேரத்தில், வாத்துக்குஞ்சு தன்னுடைய வட்டத்திலிருந்து 2மீட்டர் உள்ளே செல்ல வேண்டும்; பின்னர் அதேபோல் சுற்றிச்சுற்றி நீந்த வேண்டும்; நரியும் அதேபோல் கரையில் சுற்றிச் சுற்றி வந்துகொண்டிருக்கும்
* இப்போது வாத்துக்குஞ்சு குளத்தின் மையத்திலிருந்து (r/4)-2 தொலைவில் உள்ளது. கரையிலிருந்து (3r/4)+2 தொலைவில் உள்ளது
* (r/4)-2 தொலைவில் சுற்றிச் சுற்றி நீந்தும் வாத்துக்குஞ்சு, ஒரு கணத்தில் சட்டென்று கரையை நோக்கி நீந்தத் தொடங்க வேண்டும்
* இந்த நேரத்தில் வாத்துக்குஞ்சு கடக்க வேண்டிய தொலைவு: (3r/4)+2
* அதே நேரத்தில் நரியும் வாத்துக்குஞ்சை நோக்கி (குளத்தின் எதிர்க்கரைக்கு) ஓடத் தொடங்கும். அது கடக்க வேண்டிய தொலைவு: pi*r, அதாவது 3.14r
* வாத்துக்குஞ்சு (3r/4)+2 தொலைவை நீந்திக் கடப்பதற்குள் நரியால் அதைப்போல் நான்கு மடங்கு ஓட இயலும், அதாவது 4*[(3r/4)+2]=3r+8
* உதாரணத்துக்கு, குளத்தின் ஆரத்தை 100மீட்டர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அப்படியானால், நரி கடக்க வேண்டிய தொலைவு=3.14*100=314; அது கடக்கக் கூடிய தொலைவு=3*100+8=308தான். ஆகவே, நரி அங்கு வருவதற்குள் வாத்து கரையைத் தொட்டுவிட்டுத் திரும்பிவிடும்.
* ஒருவேளை, குளத்தின் ஆரம் 50மீட்டராக இருந்தால்? 200மீட்டராக இருந்தால்?
* அப்போதும் வாத்துக்குஞ்சு உயிர்பிழைக்க வாய்ப்புண்டு, மேலே உள்ள விடையில் 2மீட்டர் என்பதைச் சற்று மாற்றினால் போதும். நீங்களே இதைக் கணக்கிட்டுப் பாருங்கள்.