கணிதப் புதிர்கள் 14: அல்வா முதல் சூப் வரை

என். சொக்கன்

அன்றைக்கு அந்த அலுவலகத்தில் எல்லோரும் மகிழ்ச்சியாக இருந்தார்கள். காரணம், கடந்த பல மாதங்களாக அவர்கள் பணியாற்றிவந்த ஒரு திட்டம் இன்றைக்கு நிறைவடைகிறது. வாடிக்கையாளர் அந்தத் திட்டத்தை ஏற்றுக்கொண்டுவிட்டார். இந்த வெற்றியைக் கொண்டாடுவதற்காக, அன்று மாலை ஒரு விருந்துக்கு ஏற்பாடு செய்யப்பட்டது. அனைவரும் சிறப்பான உணவை உண்டு மகிழ்ந்தார்கள்.

அந்த விருந்தில் சுமார் ஐம்பது உணவுப் பொருட்கள் இடம்பெற்றிருந்தன. இடப்பக்கம் சூப், நொறுக்குத்தீனிகள், காய்கறி சாலட்கள், தோசை, இட்லி, ரொட்டி, நான், நூடுல்ஸ் இன்னும் என்னென்னவோ, வலப்பக்கம் இனிப்புகள், பழரசம், ஐஸ்க்ரீம் போன்றவை இருந்தன. விருந்துக்கு வந்தவர்கள் முதலில் மேசையின் இடப்பக்கத்துக்குச் சென்றார்கள். சிறு கிண்ணங்களில் சூப் ஊற்றிக்கொண்டார்கள். ஆங்காங்கே சிறு கூட்டமாகச் சேர்ந்தபடி சாப்பிடத் தொடங்கினார்கள்.

ஆனால், ஒரே ஒருவர் மட்டும் முதலில் மேசையின் வலப்பக்கத்துக்குச் சென்றார். அங்கிருந்த கோதுமை அல்வாவைக் கிண்ணத்தில் போட்டுக்கொண்டார். சூப் அருந்திக்கொண்டிருந்த ஒரு கூட்டத்தில் சேர்ந்துகொண்டார். அந்தக் கூட்டத்தில் இருந்தவர்கள் அவரைப் பார்த்துச் சிரித்தார்கள், ‘‘என்னங்க, ஊர்ல ஒவ்வொருத்தரும் சூப் சாப்பிடற நேரத்துல நீங்க இனிப்பு சாப்பிடறீங்க?’’அவரும் பதிலுக்குச் சிரித்தார், ‘‘உணவுல இதைத்தான் முதல்ல சாப்பிடணும், இதைத்தான் அடுத்ததாகச் சாப்பிடணும்னு எல்லாம் ஏதாவது கட்டாயம் இருக்கா என்ன? நமக்குப் பிடிச்ச மாதிரி சாப்பிட வேண்டியதுதான்!’’

‘‘என் நண்பர் ஒருவர் முதல்ல மோர் சாதம் சாப்பிடுவார், அப்புறம் ரசம், அப்புறம் சாம்பார். மத்தவங்க எல்லாம் சாம்பார், ரசம், மோர்னு சாப்பிடறாங்கன்னா, அதுக்காக அவர் தன்னோட விருப்பத்தை ஏன் மாத்திக்கணும்? எல்லாவிதமான மனுஷங்களும் உள்ளதுதானே உலகம்? நம்ம வரிசை சரி, அவங்க வரிசை தப்புன்னு சொல்றது நியாயமில்லையே?’’

‘‘ஆனா, கணக்குல அப்படிச் சொல்ல முடியாதுங்க. 4-க்கு அப்புறம் 5 எழுதினா 45, அதையே கொஞ்சம் மாத்தி 5-க்கு அப்புறம் 4 எழுதினா 54, வரிசை மாறும்போது மதிப்பே மாறிடுது பாருங்க!’’ என்றார் ஒருவர். ‘‘இதைக் கேட்கும்போது, எனக்கு ஒரு புதிர் நினைவுக்கு வருது. 1, 2, 3, 4ங்கற 4 எண்களை எடுத்துக்கணும். அவற்றைப் பலவிதமா மாத்திப்போட்டு வெவ்வேற நான்கு இலக்க எண்களை உருவாக்கணும், அதுல ஒரே எண் ரெண்டு தடவை வரக் கூடாது’’ என்றார் மாறன்.

‘‘அட, இது ரொம்பச் சுலபமாச்சே’’ என்று கூட்டத்தில் இருந்தவர்கள் ஒவ்வோர் எண்ணாகச் சொல்லத் தொடங்கினார்கள், ‘1234, 2341, 3412…’
‘‘கொஞ்சம் பொறுங்க, நான் இன்னும் புதிரைச் சொல்லவே இல்லை. இந்த நாலு எண்களையும் பலவிதமா மாத்திப் போட்டு நாம 24 நான்கு இலக்க எண்களை உருவாக்கலாம். அந்த 24 எண்களோட கூட்டுத்தொகை என்ன?’’ என்றார் மாறன்.

‘‘முதல்ல அந்த 24 நான்கு இலக்க எண்களையும் வரிசையா எழுதணும், அப்புறம் அவற்றைக் கூட்டணும், பேனா, பென்சில், கால்குலேட்டர்னு எதுவும் இல்லாம இந்தக் கேள்விக்கு எப்படிப் பதில் சொல்றது?’’ என்றார்கள்.

‘‘இதுக்குப் பேனா தேவையே இல்லைங்க. கொஞ்சம் யோசிச்சா, அந்த 24 எண்களையும் எழுதாம, கூட்டாம உடனே பதில் சொல்லிடலாம். நீங்க யோசிங்க, அதுக்குள்ள நானும் கொஞ்சம் கோதுமை அல்வா எடுத்துட்டு வர்றேன்’’ என்றார் மாறன்.

மாறன் சொல்லும் ரகசியம் உங்களுக்குப் புரிகிறதா?

விடை:

1, 2, 3, 4 ஆகிய எண்களை வெவ்வேறுவிதமாக அடுக்கும்போது 24 நான்கு இலக்க எண்கள் வருகின்றன. இந்த 24 எண்களையும் எழுதாமலே நாம் கொஞ்சம் அவற்றைப் பற்றிச் சிந்திப்போம். எந்த ஒரு நான்கு இலக்க எண்ணிலும் நான்கு இடங்கள் இருக்கும்: ஒன்று, பத்து, நூறு, ஆயிரம். நம் புதிரின்படி இந்த நான்கு இடங்களிலும் 1, 2, 3, 4 ஆகிய எண்கள்தான் திரும்பத் திரும்ப இடம்பெறும்; அவை சரிவிகிதத்திலும் இருக்கும்.

இதன் பொருள், ஒன்றாவது இடத்தில் 1, 2, 3, 4 ஆகிய எண்கள் 24 முறை இடம்பெறுகின்றன, அதாவது, ஒவ்வொன்றும் 6 முறை. பத்தின் இடத்திலும் இதே நான்கு எண்கள் இதே 24 முறை இடம்பெறுகின்றன. அதாவது, ஒவ்வொன்றும் 6 முறை. நூறின் இடத்தில், ஆயிரத்தின் இடத்திலும் இதே கதைதான்.

ஆக, நாம் இந்த எண்களை எழுதாமலேயே அவற்றை இப்படித் தனித்தனியாகக் கூட்டலாம்:

ஒன்றின் இடத்தில்: 6*1 + 6*2 + 6*3 + 6*4 = 60
பத்தின் இடத்தில்: அதே 60; ஆனால், அதன் மதிப்பு 60*10=600
நூறின் இடத்தில்: அதே 60; ஆனால், அதன் மதிப்பு 60*100=6000
ஆயிரத்தின் இடத்தில்: அதே 60; ஆனால், அதன் மதிப்பு 60*1000=60000
இப்போது, நாம் இந்த எண்களைக் கூட்டினால் விடை கிடைத்துவிடும்: 60+600+6000+60000 = 66660
அடுத்து, 2, 3, 4, 5 ஆகிய எண்களை வைத்து இதே புதிரை மீண்டும் விளையாடிப் பாருங்கள்.

அந்த விடைக்கும் இந்த விடைக்கும் ஏதாவது ஒற்றுமை தெரிகிறதா? இதைக் கொஞ்சம் ஆராய்ந்தால் இந்த வகைப் புதிர்கள் அனைத்துக்கும் பொதுவான ஒரு சூத்திரத்தைக் கண்டறியலாம். கீழே தரப்பட்டுள்ள அந்தச் சூத்திரத்தைக் கொண்டு, எந்தப் புதிருக்கும் சட்டென்று விடை சொல்லிவிடலாம்:
a, b, c, d ஆகிய நான்கு இலக்கங்களைக் கொண்டு உருவாக்கப்படும் 24 நான்கு இலக்க எண்களுடைய கூட்டுத்தொகை: 6666 * (a+b+c+d)

(அடுத்த வாரம், இன்னொரு புதிர்)
கட்டுரையாளர், எழுத்தாளர்
தொடர்புக்கு: nchokkan@gmail.com